手のひらと指に赤く小さい斑点があります

斑点の場所が手だけであり、発熱などの全身症状もないようですと、感染症ではないでしょう。斑点の広がり方が、手に限局されていることから考えますと、内臓など体の内側からというより、何かに触れるなど、外部からの刺激によってできたものではないかと思われます。
皮膚の症状は、拝見することで初めて診断できる場合が少なくありません。ご質問のお子さんの場合、発熱などの全身症状がなく、斑点の症状がゆっくり経過しているようですので、小児科ではなく、皮膚科で診ていただいた方がよろしいかと思います。