ささくれがひどくなり化膿しています

生後数日の赤ちゃんでも、ささくれで爪の横が化膿することはあります。通常は、抗生剤の入った軟膏や抗生剤とステロイドの両方が入った軟膏を1日数回、数日間塗ってもらうと治ります。ご質問の赤ちゃんは、こうした薬を塗っていてもひどくなってきているということなので、やはり小児科か皮膚科を受診していただいた方がいいでしょう。
ただ、パパが心配するように、受診のために外出をすることによって、抵抗力の弱い赤ちゃんが別の病気をもらってくる可能性はあります。人混みを避け、空いている時間帯を選んで受診する、予約のできる外来に行く、待ち時間の間は自家用車の中で過ごし、順番がきたら呼んでもらうなどの配慮をすればよいと思います。