片方の目の周りが腫れ、赤くなっています

目と鼻は「鼻涙管」というもので繋がっているため、泣くと涙が鼻涙管を伝わって鼻に流れ、鼻水のように排出されます。風邪などで鼻水が出たり、鼻が詰まったりすると、この鼻涙管の流れが悪くなり、目やにが出るようになったりします。
さらに子どもは目と鼻の距離が近いため、鼻涙管が短く、溜まった鼻水が逆流して目の腫れや目やにが生じやすくなります。片方の鼻だけに鼻詰まりが生じることも、よくあります。鼻水を吸い取るなどのケアをしても、目の腫れが続くようでしたら、眼科受診をお勧めします。