夜中に起きて食べたがります

1歳3カ月の男の子について質問します。1歳2カ月のときに卒乳して、食事も3回きちんととっています。10時前に寝る癖もやっとつき、安心していました。ところが先週歩き出すようになり、そのころから夜中目を覚まして食べたがるようになりました。バナナやさつまいもなどを食べさせると、落ち着いて眠ります。夜中はあまり食べさせないほうがよいのではと思い、寝る前にバナナを食べさせてみたのですが、また夜中に泣いてしまいます。しばらく放っておいたのですが、ずーっと泣きつづけて寝ようとせず、結局また食べさせてしまいました。朝食もきちんと食べるのですが、こういった場合は夜中食べさせてもいいのでしょうか？　ちなみに、水分だけ与えてもダメでした。