手や足の裏がいつも汗でベタベタしています

まず、お母さんの症状は「多汗症」ではないかと思います。手、足、わきの下、股間は汗腺が多く汗が出やすい部分ですが、なかでも手のひらにひどく汗をかくなら、「手掌多汗症」の可能性があります。
多汗症の方は、汗をかきやすい部分が常に汗ばんでいます。汗がキラキラ光って見える程度から、水滴が滴り落ちる程度まで、症状には幅があります。手のひらの汗が気になり、日常生活に支障が出るようなら、皮膚科でご相談いただいた方がいいでしょう。
多汗症は交感神経が緊張したときに発症しますので、治療としては交感神経切除やボトックス注射、発汗抑制剤の塗布、交感神経緊張の原因となるストレス緩和薬の内服などがあります。
次にお子さんについてお話します。子どもは新陳代謝が活発で、体格のわりに熱が多く発生するため、大人より多く発汗して熱を放散し、体温調節をしています。また、皮膚に分布する汗腺の数は、大人も子どもも同じです。したがって赤ちゃんの皮膚には、大人よりはるかに高い密度で汗腺が集まるため、たくさんの汗をかいているように見えるのです。
遺伝としては常染色体優性遺伝が考えられ、お母さんの体質が遺伝している可能性もありますが、ご質問の症状は乳児期の一般的な特徴ともいえますので、成長とともに落ち着いてくるかどうか、しばらく様子を見ていただければと思います。