手足が冷えているのは「冷え症」のためでしょうか？

お母さんのおっしゃる通り、手足は体温調節の役割を果たしていますので、赤ちゃんの手足はひんやりしていることが多いです。基本として素手、素足でいることをおすすめします。ご両親が冷え症だからお子さんも冷え症になる、ということには必ずしもならないと思います。ただし、地域や家屋、部屋の環境によっては、冷えないように配慮する必要がある場合もあります。寒さの厳しい地域で、室内に冷たい隙間風が吹き込んでくる環境の場合には、靴下を履かせた方がよいでしょう。とはいえ基本的には、足が紫色になっていなければ大丈夫でしょう。